こんにちは。iQeda [@iQeeeda] です。
以前、十進法・二進法とはなにか？...を解説しました。
その中で 10^0 は 1 だとサラっと言いましたが、理屈っぽく説明していませんでした。
なにを言っているのか、よくわからないと思います。
今回は指数の基本的な考え方と「指数法則」について解説します！
指数が 0 の場合・マイナスの場合について
10^n について考えてみよう！
10^0
10 進法における 1 は 10 の 0 乗 という意味でした。
これを 「10 を 0 回かけたもの」という解釈をするとイミフですね。
実際に計算しながら整理してみましょう。
- 10^5 = 100000
- 10^4 = 10000
- 10^3 = 1000
- 10^2 = 100
- 10^1 = 10
- 10^0 = 1
「指数が 1 減ると、数が 10 分の 1 になる」と考えると、どうでしょう？
こっちのほうが直感的で理解しやすいはずです。
10^-1
先程の「指数が 1 減ると、数が 10 分の 1 になる」ルールを適用すれば、
指数がマイナスになっても混乱しないと思います。
- 10^0 = 1
- 10^-1 = 1/10
- 10^-2 = 1/100
- 10^-3 = 1/1000
- 10^-4 = 1/10000
- 10^-5 = 1/100000
つまり「10^n の n が 1 減ると、数が 10 分の 1になる」とおぼえましょう。
2^n について考えてみよう！
2^0
さっきのルールを応用すれば 2 進法でも同じ考え方ができます。
- 2^5 = 32
- 2^4 = 16
- 2^3 = 8
- 2^2 = 4
- 2^1 = 2
- 2^0 = 1
ここでは「指数が 1 減ると、数が 2 分の 1 になる」と考えましょう。
2^0 = 1 であることを知識として暗記するのではなく、
ルール化した結果、どういう答えになるのが妥当か？ということを意識しましょう。
2^-1
ここまで来るともう大丈夫ですね？
- 2^0 = 1
- 2^-1 = 1/2
- 2^-2 = 1/4
- 2^-3 = 1/8
- 2^-4 = 1/16
- 2^-5 = 1/32
つまり「2^n の n が 1 減ると、数が 2 分の 1」になります。
10^n と 2^n のまとめ
| 乗数 | 計算方法 |
|---|---|
| 10^5 | 1 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 |
| 10^4 | 1 * 10 * 10 * 10 * 10 |
| 10^3 | 1 * 10 * 10 * 10 |
| 10^2 | 1 * 10 * 10 |
| 10^1 | 1 * 10 |
| 10^0 | 1 |
| 10^-1 | 1 / 10 |
| 10^-2 | 1 / 10 / 10 |
| 10^-3 | 1 / 10 / 10 / 10 |
| 10^-4 | 1 / 10 / 10 / 10 / 10 |
| 10^-5 | 1 / 10 / 10 / 10 / 10 / 10 |
| 乗数 | 計算方法 |
|---|---|
| 2^5 | 1 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 |
| 2^4 | 1 * 2 * 2 * 2 * 2 |
| 2^3 | 1 * 2 * 2 * 2 |
| 2^2 | 1 * 2 * 2 |
| 2^1 | 1 * 2 |
| 2^0 | 1 |
| 2^-1 | 1 / 2 |
| 2^-2 | 1 / 2 / 2 |
| 2^-3 | 1 / 2 / 2 / 2 |
| 2^-4 | 1 / 2 / 2 / 2 / 2 |
| 2^-5 | 1 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 |
指数法則
上の表の指数に注目したもので「指数法則」というものがあります。
これは十進法でも二進法でも使える公式です。
N^a * N^b = N^a+b- たとえば
10^2 * 10^3と10^2+3の答えは 100000 で一緒になっていますね - 同様に
2^-2 * 2^-3と^2-5の答えも 1/32 で一緒になります
- たとえば
指数はコンピュータサイエンスの基礎です。
指数が 0 になったり、マイナスになることはよくあるので理解しておいてください。
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